Высказывания и предложения с переменными

и) Высказывание истинно: пример x = 3, y = 4, z = 5.

1. Найти пересечение:

а){k|kÎZ

}Ç{|kÎZ

}; б) {|kÎZ

}Ç{|kÎZ

}.

Ответ: а), б) Z

.

Решение

Эта задача, каким бы трудным или непривычным ни показалось ее решение, на самом деле является типичной частью решения тригонометрических уравнений – отбором корней, исключение общих решений из нескольких серий.

Во всех задачах A – первое, B – второе множество в пересечении, C – само искомое пересечение.

а) Множество A есть просто Z

. Но целое число k может быть представлено и в виде , т.е. принадлежит множеству B – можно положить k = 2n. Таким образом, A Ì B, и следовательно, AÇB = A = Z

.

б) Утверждение xÎA означает, что элемент x есть дробь со знаменателем 3, а xÎВ значит, что x – дробь со знаменателем 2. Другими словами, x = , где kÎZ

, но при представлении x как дроби со знаменателем 2 числитель будет, естественно, другим, т.е. x = , и следовательно, = , т.е. 2k = 3n.

Поэтому 2k делится на 3, так что k делится на 3, k = 3p, где p – целое число, и поэтому x = = pÎZ

. Следовательно, AÇB Ì Z

.

С другой стороны, если xÎZ

, то он может быть представлен и в виде x = , где 3x – целое число, и следовательно, xÎA. Аналогично, x = , т.е. xÎB. Значит, xÎAÇB, а поскольку x – произвольный элемент Z

, то Z

Ì AÇB. Таким образом, AÇB Ì Z

и Z

Ì AÇB, т.е. AÇB = Z

.

2.Найти пересечение:

а) {|kÎZ

}Ç{|kÎZ

}; б) {|kÎZ

}Ç{|kÎZ

}.

Ответ: а) {6k + 3|kÎZ

} – множество целых чисел, дающих при делении на 6 остаток 3; б) {4p + 1|kÎZ

} – множество целых чисел, дающих при делении на 4 остаток 1.

Решение

а) Если xÎA, то x =, где kÎZ

, а если xÎB, то x = , где nÎZ

. Тогда утверждение xÎAÇB означает, что существуют такие целые числа k и n, что = , 10k + 5 = 9n.

Это равенство означает, что 10k + 5 делится на 9, т.е. k + 5 делится на 9, и следовательно, число k при делении на 9 дает остаток 4, k = 9p + 4, x = = 6p + 3.

Таким образом, всякий элемент xÎAÇB имеет вид 6p + 3, где p – целое число, т.е. C = AÇB Ì {6k + 3|kÎZ

}.

Докажем обратное включение. Пусть xÎ{6k + 3|kÎZ

} = D, т.е. имеет вид 6k + 3, где kÎZ

. Тогда x = , т.е. xÎA. С другой стороны, x =6k + 3 =, т.е. xÎB.

б) Утверждение xÎAÇB означает, что существуют целые числа k и n, что x = = , 12k + 3 = 10n + 5, 6k = 5n + 1, т.е. число 6k при делении на 5 дает остаток 1.