Высказывания и предложения с переменными

Задача

Из пункта А в пункт В одновременно выехал велосипедист и вышел пешеход, и в тот же момент времени навстречу им из пункта В выехал автомобилист. Через час после начала движения автомобилист встретил велосипедиста ,а затем, проехав еще 240/17 км., встретил пешехода, посадив его в машину, после чего они отправились вдогонку за велосипедистом и настигли его. С какой скоростью двигался автомобиль, если скорость пешехода была равна 5 км./ч. и АВ= 100 км.?

Решение

Пусть автомобиль двигался со скоростью u км/ч , а велосипедист со скоростью v км/ч .Тогда u+v=100, а из условия встречи автомобилиста с пешеходом после необходимых преобразований получаем, что число u удовлетворяет уравнению 17х-1375х +1200=0. Это уравнение имеет корни 80 и 15/17, следовательно, автомобиль двигался со скоростью либо 80, либо 15/17 км/ч.

Ясно, что задача еще не решена, поскольку мы так и не узнали, с какой именно скоростью двигался автомобиль – 80 или 15/17 км/ч?

Конечно, «физический» аспект задачи подсказывает, что вряд ли возможно движение автомобиля со скоростью 15/17 км/ч и тем более соответствующее этому случаю движение велосипедиста со скоростью 1685/17 км/ч. Однако этот аргумент, очевидно, нематематического характера, и не составляет особого труда подобрать в условии такие числа, при которых «физическая» бессмысленность полученных результатов будет не столь бесспорной.

Естественно проверить сначала, мог ли автомобиль в предложенной в задаче ситуации двигаться со скоростью 15/17 км/ч. Для этого «разыграем» с самого начала все условие задачи: первая фраза не содержит информации, связанной со скоростью автомобиля; далее, автомобилист встретился с велосипедистом в 15/17 км от В, затем встретит перехода, но, посадив его в машину и развернувшись, он не настигнет велосипедиста. Следовательно, автомобиль не мог двигаться со скоростью 15/17 км/ч.

Полученный результат означает, что скорость автомобиля была равна 80 км/ч; подчеркнем, что исследование корня 80, аналогичное проведенному для 15/17, совершенно излишне, поскольку мы знаем, что автомобиль мог двигаться лишь с одной из двух найденных скоростей, а скорость 15/17, как мы показали, противоречит условию задачи.

1. Какие высказывания истинны, а какие ложны:

а)x ОR

: 2x2 – 5x + 4 = 0; е)kОN

(703 = 37k);

б)xОR

(31x2 – 24x – 11 > 0);

ж)x, y ОZ

(45x – 25y = 31);

в) xОR

(31x2 – 24x – 11 > 0; з)x, yОZ

(43x – 25y = 31);

г)xОR

(31x2 – 24x + 11 > 0); и)xОN

yОN

z ОN

(x2 + y2 = z2);

д)xОR

(31x2 – 24x + 11 > 0);

Решение

а) В "переводе на русский" высказывание означает, что данное уравнение имеет корень; так как его дискриминант равен 25 – 32 < 0, то высказывание ложно.

б) Высказывание ложно, так как, например, при x = 0 данный квадратный трехчлен отрицателен.

в) Высказывание истинно, так как, например, при x = 1 данный квадратный трехчлен положителен.

г) Высказывание истинно, так как дискриминант отрицателен.

д) Высказывание истинно: пример x = 0.

е) В "переводе на русский" высказывание означает, что 703 делится на 37, и, например, деление "уголком" показывает, что оно истинно.

ж) Высказывание ложно, так как левая часть равенства при любых целых x и y делится на 5, а правая на 5 не делится.

з) Высказывание истинно, так как числа 43 и 25 взаимно просты, это следует из общей теории решения линейных уравнений с двумя переменными; для поиска конкретного примера можно рассуждать стандартным образом. Имеем y = = x – 1 + , и поскольку 6 и 25 взаимно просты, то y будет целым, если 3x – 1 делится 25. Перебирая кратные числа 25 и прибавляя к ним 1, находим пример x = 17, а тогда y = 28.