Высказывания и предложения с переменными

Если форма имеет несколько переменных, то ее область определения зависит от областей изменения ее переменных: так, для формы "x – столица y" переменная x пробегает множество населенных пунктов – скажем, A, а переменная y – множество B государств, а область определения формы – множество всех пар вида (a, b), где a ÎA, bÎB. Такое множество пар часто называют декартовым произведением множеств A и B и обозначают символом A´B. Это название легко объяснить, поскольку декартова плоскость, т.е. плоскость с декартовой системой координат, это R

´R

– множество пар действительных чисел. Понятно также, почему для краткости пишут R

2.

Высказывательные формы с одной переменной можно естественно рассматривать как свойства соответствующих объектов – например, форма Число k – простое соответствует свойству натуральных или целых чисел "быть простым", форма x > 2 – свойству действительных чисел "быть большим 2", форма Четырехугольник ABCD – параллелограмм – свойству четырехугольников "быть параллелограммом".

Точно так же высказывательные формы с более чем одной переменной соответствуют свойствам пар, троек и т.д. Например, форму a||b можно рассматривать как свойство пары прямых "быть параллельными", а форму a||a как аналогичное свойство пары (a, a), первый элемент которой прямая, а второй – плоскость.

В дальнейшем представлены задачи на развитие логического мышления. Они представлены в виде двух групп. Первая группа включает в себя задачи, на развитие логического мышления, которые могут быть реализованы в обычном курсе математики. Вторая же группа предназначена для спецкурсов углубленного изучения математики.

Задачи первой группы

1. Какие из приведенных предложений вы считаете высказываниями или высказывательными формами:

а) x + 1;

б) k делится на 7;

в) x + y = y + x;

г) От перемены мест слагаемых сумма не меняется;

д) Из любого натурального числа a можно вычесть любое натуральное число b;

е) Сумма двух четных чисел является четным числом;

ж) Число 1,5 делится на 3;

з) Квадрат – это параллелограмм, у которого один из углов прямой;

и) 20 = 1;

к) Любое число в нулевой степени равно 1;

л) y = x2;

м) Функция y = x2 не принимает значения –1;

н) Выражение x3 может быть равно 3;

о) Выражение x2 не может быть равно –1;

п) Из натуральных чисел k, k + 1, k + 2 хотя бы одно делится на 3;

р) Любое натуральное число k имеет делители.

2. Для каждой из заданных высказывательных форм привести, если возможно, примеры значений переменных, при которых они истинны и при которых они ложны:

а) 3x2 + 2x – 5 = 0;

б) x2 + 2x – 6 = 0 и xÎQ

;

в) 2x2 – x – 1 < 0;

г) x2 – x + 1 > 0;

д) 2x2 – x – 1 < 0 и xÎZ

;

е) 134x2 – 32x – 67 < 0;

ж) 2784x2 – 5433x + 2324 < 0;

з) x23 + 31x15 + x7 – 4x2 + 1 = 0 и xÎQ

и xÏZ

;

и) x37 + 65x22 + 89x12 – 42x8 – 1 < 0;

к) Трехзначное натуральное число n можно представить как произведение трех различных простых множителей;

л) Дробь может быть записана в виде конечной десятичной дроби;

м) Действительное число y можно представить в виде x2 + 1, где x Î R

;

н) Действительное число y можно представить в виде x2 + x – 1, где x Î Q

;

о) Действительное число y можно представить в виде x3 + 1, где x Î Q

;

п) x > 1 и x > 3; x > 1 или x > 3; x < 3 и x > 2; x > 1 и x < 3; x > 1 или x £ 3;

р) x2 + y2 = z2 (x, y, z ÎN

);

с) x3 + y3 = z3 (x, y, z ÎN

).

3. Множества A и B содержат соответственно p и q элементов. Сколько элементов в их декартовом произведении?

4. Что такое R

3?

5. Исходя из понимания слов русского языка и "главного" частного случая высказывательных форм – уравнений и неравенств, придумайте определение множества истинности для любой высказывательной формы. Как связано множество истинности форм "P(x) и Q (x)" и "P(x) или Q (x)" с множеством истинности форм P(x) и Q (x)?