Высказывания и предложения с переменными

Сначала вспомним некоторые понятия, изучавшиеся нами еще в младших классах. Это, прежде всего, предложение с переменной. На протяжении нескольких лет решаем уравнения и неравенства – они и являются "главными" школьными примерами предложений с переменными. И уже из этих примеров можно легко понять, почему они так называются.

Например, уравнение x2 = 1 – это предложение русского языка, построенное с соблюдением правил грамматики, в нем есть, в частности, подлежащее (x2) и сказуемое (равно 1). А буква x – это переменная: вместо нее можно подставлять различные конкретные числа. При каждой такой подстановке мы получаем уже обычное для естественного языка предложение – без всяких переменных: например, 22 = 1, (–1)2 = 1, 1002 = 1. Одно из этих предложений истинно, два других ложны.

Предложения, о которых имеет смысл обсуждать вопрос, истинны они или ложны, принято называть высказываниями. Не всякое грамматически правильное предложение русского языка является высказыванием – не имеет смысла обсуждать истинность предложений "Который час?" или "Пусть всегда будет солнце!", так же, как и истинность классического в лингвистике предложения "Зеленые идеи яростно спят", совершенно законного с точки зрения грамматики.

А предложения с переменными часто называют высказывательными формами ("формами для производства высказываний" – как в промышленности, где изделия штампуются с помощью заранее изготовленных форм). Точно так же из предложения с переменной x £ 2 можно "наштамповать" много высказываний – как истинных, так и ложных: 3 £ 2, 2 £ 2, –5£ 2 и т.д.

Предложение может содержать и несколько переменных – например,

2x – y = 1, x2 + y2 = 1, x + y > 2, (a + b)c = ac + bc, a делится на b,

DABC – прямоугольный, ABCD – квадрат,

Город a – столица государства b.

Чтобы такое предложение стало высказыванием, нужно подставить конкретное значение каждой переменной – как говорят, фиксировать каждую переменную.

Однако типичными для математического языка примерами предложений с переменными являются не только уравнения и неравенства. Напротив, в математике – в особенности, в теории – более распространены иные предложения с переменной: например, aÎN

– высказывательная форма с переменной a.

Высказывательные формы, как и другие понятия математического языка, "имеют право" на свой способ обозначения – иначе о них невозможно говорить "в общем виде". Его можно даже "угадать" самостоятельно, если заметить аналогию с числовыми выражениями: если выражение содержит одну переменную, т.е. при подстановке вместо переменной числа получается число, так что такие выражения вполне естественно называть числовыми формами.

Точно при такой же замене предложение с переменной превращается в высказывание. Но выражения с одной переменной "в общем виде" обычно обозначают символом типа f(x), g(x), и такое же обозначение используют для высказывательных форм – P(x), Q(x), употребляя при этом прописные латинские буквы.

И так же, как в числовое выражение с переменной можно подставить не любое число, а только число из ее области определения, в высказывательную форму также можно подставлять только те значения, при которых после подстановки получается высказывание, при которых она, как говорят, имеет смысл. Другими словами, каждая высказывательная форма также имеет свою область определения.

В "главном" для школьной математики частном случае высказывательных форм – для уравнений и неравенств – употребляется именно этот общий термин. Для них имеется и специфический термин – область допустимых значений переменной, сокращенно ОДЗ. Обычно говорят "ОДЗ уравнения (или неравенства)", хотя более точно было бы говорить "область значений переменной, допустимых для уравнения (или неравенства)". В этой традиции, конечно, нет никакой языковой ошибки, и здесь проявляется лишь обычное известное вам по урокам литературы явление метонимия, свойственная и математическому языку. Говорим же мы, что дробь правильная, если она меньше 1, хотя точнее было бы говорить, что рациональное число, которой она изображает, меньше 1.