Высказывания и предложения с переменными

Напомним, что строка закрашивается, если целый делитель не оказался корнем, и для дальнейшего вычисления используется предыдущая строка. Звездочки в клетках поставлены, когда уже очевидно, что в конце строки 0 не получится.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень –2, т.е. равносильно утверждению x = 2.

б) Здесь требуется найти рациональные корни уравнения, и чтобы избежать дробей, умножим обе части на 8: 32x5 – 16x4 – 80x3 – 64x2 + 88x – 120 = 0, или y5 – y4 – 10y3 – 16y2 + 44y – 120, где y = 2x. Так как старший коэффициент этого уравнения равен 1, то все его рациональные корни целые. Убедившись, что 1 и –1 не являются его корнями, применим схему Горнера:

Заметим, что в получившемся многочлене x3 – 4x – 20 нет члена, содержащего x2, и поэтому при замене x на –x он меняет знак; следовательно, если какое-то число является его корнем, то и противоположное ему число является корнем.

Поэтому достаточно проверить положительные делители числа 20, естественно, большие 2, а если заметить, что нечетное число не может быть корнем этого многочлена, то достаточно проверить числа 4, 10 и 20:

Таким образом, уравнение относительно y имеет целые корни –2 и 3, а исходное уравнение – рациональные корни –1 и .

Примененный в решении этой задачи прием сведения поиска рациональных корней к поиску целых корней называется в математике методом Руффини-Горнера по именам итальянского и английского математиков.

4. При каких значениях a истинно утверждение:

а) x > a Þ x > 1; г) x > a Þ x < 1; ж) x > a Þ 2x2 – x і³ 1;

б) x > a Þ x ³ 1; д) x > a Þ x2 ³ 1; з) x £ a Þ 2x2 – x > 1;

в) x £ a Þ x < 1; е) x < a Þ x2 ³ 1; и) x < a Þ 5x – 3x2 – 2 ³ 0?