Высказывания и предложения с переменными

Пусть a2 + pa + q = b2 + pb + q = 0; тогда

(a2 – b2) + p(a – b) = 0, (a + b)(a – b) + p(a – b) = 0,

и поскольку a ¹ b, то a + b + p = 0, откуда a + b = –p, и следовательно,

ab = a(–p – a) = –a2 – pa = q.

Обратим внимание, что проведенное рассуждение представляет собой доказательство теоремы Виета (для приведенного квадратного уравнения), не использующее формулы корней. Заметим также, что ограничение a ¹ b существенно – его из условия нельзя выбросить: например, "1 и 1 – корни уравнения x2 – 1 = 0 – истинное утверждение, а 1 + 1 = 0 – ложное.

з) Утверждение истинно: если a + b = p и ab = q, то

a2 – pa + q = a2 – (a + b)a + ab = a2 – a2 – ab + ab = 0.

Это доказательство теоремы, обратной теореме Виета (для приведенного квадратного уравнения).

Разумеется, проведенные рассуждения относятся к языку и имеют субъективный характер, поскольку в таких тонких вопросах разные люди могут придерживаться разных мнений, в соответствии с личным "чувством языка". Все это, конечно, вопрос семантики русских слов, а для математики главный вывод состоит в необходимости чрезвычайной аккуратности в формулировках задач, в особенности, в ситуации контроля, и тем более в тестовой форме.