Граф-схемы доказательства теорем

Восходящий анализ имеет определенные методические преимущества: обеспечивает сознательное и самостоятельное отыскание доказательства; способствует развитию логического мышления; обеспечивает понимание и целенаправленность действий на каждом этапе рассуждения.

Схема метода проста. Она сводится к выяснению двух вопросов: что требуется найти, доказать и что для этого достаточно знать?

Однако необходимо отметить, что в младших классах целесообразно осуществлять поиск решения задач, доказательства теорем с помощью нисходящего анализа. Это связано с тем, что выводить необходимые признаки легче, чем подбирать достаточные основания для выполнения соответствующих заключений, утверждений.

Аналитико-синтетический поиск решения геометрических задач позволяет, как и в случае других типов задач, получить механизм выявления их структуры (внутренней структуры) как сложных объектов.

Для выявления структуры рассмотренной выше задачи построим ориентированный граф поиска ее решения с помощью восходящего анализа. Используя выполненный ранее анализ, получаем граф-схему.

Полученная граф-схема представляет собой модель поиска решения задачи, где для каждой вершины определено то или иное отношение. Возникает вопрос: какие вершины графа поиска решения задачи определяют элементы задачи, входящие в ее структуру? Можно утверждать, что эту роль выполняют те вершины графа, на которых выполняется основное отношение, реализованное в задаче.

Выявим прежде всего основное отношение, реализованное в задаче. Оно, как отмечалось ранее, определяется функциональной зависимостью между данными и неизвестными величинами, имеющими место в задаче.

В данной задаче такую зависимость выражает отношение подобия, которому соответствует свойство пропорциональности соответствующих сторон подобных треугольников.

В поиске решения задачи равенство

(1)

является следствием указанного свойства. Величина АВ в задаче имеет фиксированное значение (АВ = 5), поэтому ее можно рассматривать как коэффициент пропорциональности k. Отношение неизвестных величин ВЕ и ВД обозначим через х, т.е. ВЕ / ВД = х, а искомую величину ОВ – через у. Тогда равенство (1) примет вид у = kх. Это и есть основное отношение, реализованное в задаче, которое имеет вид ав = с. В равенствах ВЕ = ½ АВ (2) и АД = ½ АС (4) коэффициент ½ не является константой, так как он выражает лишь одно из значений величин соответственно ВЕ и АД, не зафиксированное в задаче. Поэтому равенства (2) и (4) выражают в частных случаях основное отношение ав = с.

Таким образом, в граф-схеме поиска решения задачи имеются только три вершины, на которых выполняется основное отношение, реализованное в задаче. Этими вершинами являются ОВ, ВЕ и АД (они обведены кружочком). Остальные вершины графа являются либо данными величинами (АВ и АС), либо вспомогательными (число ½), либо такой, которой соответствует другое отношение, не являющееся основным (ВД).

Следовательно, вершины ОВ, ВЕ и АД графа поиска решения как минимальные компоненты задачи, на которых выполняется основное отношение ав = с, реализованное в задаче, являются ее элементами. Элемент (ситуация) задачи есть не что иное, как ее структурная единица.

Теперь необходимо установить связи между выделенными элементами структуры задачи. С этой целью используется граф поиска решения и чертеж к задаче. Из граф-схемы следует, что вершины ОВ и ВЕ взаимосвязаны. Действительно, они являются элементами треугольника ОВЕ и их взаимосвязь учитывалась в процессе поиска решения. Что касается вершины АД, то следует признать, что она не имеет явной связи с вершинами ОВ и ВЕ графа: вершины ОВ и АД разделяет вершина ВД, не являющаяся, как было показано выше, элементом структуры задачи, а вершины ВЕ и АД принадлежат различным ветвям графа. Чертеж к задаче подтверждает сделанный вывод.