Граф-схемы доказательства теорем

«Столкновение» в мыслях двух способов доказательства благодаря рассмотрению их рядом в параллельной записи по одной граф-схеме приносит ему существенно новую информацию не столько о геометрическом факте, сколько о структуре рассуждений, которая вообще не может быть добыта, если ограничиться лишь изолированным одним способом доказательства, да еще без визуализации доказательства по средствам граф-схемы.

Сплетая два взаимно дополнительных доказательства, мы «приводим в движение» много новых теорем, ходов, мыслей, а главное – оживляем в психике прежние связи между знаниями, которые не проявляются при ограничении одним способом доказательства.

Образно можно сказать так: две цепи суждений (способов доказательств), подобно спирали наследственного вещества, обретают прочность и устойчивость, связавшись друг с другом, ставшие предметом мысли на одном уроке.

Примечательно здесь еще и то, что та же самая схема облегчает нахождение доказательства обратной теоремы (толстыми стрелками):

«Если прямая ВВ1, проведенная из вершины А к основанию ВС, делит его на части, пропорциональные прилежащим сторонам, то она является биссектрисой А”.

Доказательство обратной теоремы начинается с пропорции отрезков и с построения конгруэнтных отрезков: [ВC] = [BC1].

На граф-схеме доказательство обратной теоремы показано толстыми стрелками.

Обратим внимание на чрезвычайно плотную «упаковку» информации в подобной граф-схеме: в самом деле, второй способ доказательства прямой теоремы и доказательство обратной теоремы зафиксированы с помощью лишь нескольких штриховых (соответственно толстых) стрелок.

В методике обучения математике под анализом и синтезом понимают два противоположных по ходу рассуждения, применяемых при решении задач и доказательстве теорем. Под анализом понимают рассуждение, идущее от искомого к тому, что дано. Синтез – это рассуждение, идущее в противоположном направлении. Анализ есть поиск решения задачи, доказательства теоремы.

обучение математика граф

Анализ и синтез неотделимы друг от друга, они сопутствуют друг другу, дополняют друг друга, составляя единый аналитико-синтетический метод.

Рассмотрим пример применения анализа к поиску решения задачи.

Задача. Определить радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, если основание и боковая сторона треугольника соответственно равны 6 см и 5 см.

Дано: Δ АВС, АВ = ВС = 5 см, АС = 6 см,

ОВ – радиус описанной окружности.

Найти: ОВ.

Анализ: Выполненный чертеж по условию и требованию задачи позволяет выдвинуть предположение о том, что радиус ОВ описанной около равнобедренного треугольника окружности целесообразно искать, исходя из подобия прямоугольных треугольников АВД и ОВЕ (ОВЕ общий).

Так как ΔОВЕ ~ ΔАВД, то откуда:

1) где ВЕ и ВД неизвестны;

2) ВЕ = ½ АВ, где АВ известно;

3) где АД неизвестно;

4) АД = ½ АС, где АС известно.

Поиск решения данной задачи закончен. Здесь не были выполнены обоснования каждого шага поиска, так как они очевидны. Было обращено внимание на другое, а именно на то, что неизвестно в каждой формуле, что надо искать. Действительно, обнаружив на первом шаге анализа, что величины ВЕ и ВД неизвестны, мы подбираем для их отыскания необходимые формулы. Этот процесс продолжается до тех пор, пока эти неизвестные величины не будут выражены через известные. Для того, чтобы решить задачу, достаточно осуществить обратный (противоположный) переход от четвертого действия к первому. Для облегчения выполнения указанных в поиске решения действий можно последовательно выполнять соответствующие вычисления.

Анализ в процессе поиска решения задачи или доказательства теоремы может по форме быть либо нисходящим, либо восходящим. При нисходящем анализе, исходя из предположения об истинности доказываемого предложения, получают систему следствий, необходимых для существования доказываемого утверждения. Нисходящий анализ требует синтеза – противоположного хода рассуждения. Восходящий анализ имеет целью доказать, что известные (данные в условии) соотношения являются достаточными для существования заключения доказываемого предложения. Восходящий анализ содержит в себе синтез, поэтому он не требует противоположного хода рассуждения.