Граф-схемы доказательства теорем

В граф-схеме показано, как можно добиться краткой и емкой записи доказательства, когда каждая стрелка (переход от строки к строке) характеризует силлогизм, причем доказательство взаимно обратных теорем совмещены визуально, пространственно. При таком способе записи информации знаки импликации (стрелки) предельно наглядно изображают как отличие, так и сходство процессов доказательства прямой и обратной теорем.

Сходство. В обоих используется одна и та же совокупность понятий и высказываний (конгруэнтные треугольники, отрезки и углы).

Различие. Высказывание, носившее логическую функцию основания в доказательстве прямой теоремы, становится заключением обратной теореме и наоборот.

Между тем метод обратных задач в нашем опыте доказал свою приложимость в практике обучения даже высшей алгебре, аналитической геометрии, математическому анализу… Так, например, для начинающих нелегко вывести формулу производной обратной функции. Использование граф-схемы в записи делает вывод зримым, а потому более наглядным и убедительным.(рис 4).

Рис. 4

Построив на доске такую граф-схему вычисления производной функции arcsin x, учитель может поручить студенту вывести по той же схеме кратчайшим способом производную сходной функции arcos x. В этих целях, оставив все записи неизменными, цветным мелом (в тетрадях – цветной пастой) следует подписать под символом sin другой символ cos (и наоборот), изменив в соответствующих местах и знаки перед выражениями.

Существенно важно уже то, что в описываемой методике прямые и обратные теоремы следуют друг за другом, а не разведены во времени и пространстве другими теоремами.

В данной работе мы рассмотрим случай «чистого обращения», далеко не исключительный, когда удается буквально на одном уроке рассмотреть доказательство прямой и обратной теоремы, причем пользуясь одной и той же граф-схемой доказательства.

На граф-схеме изображено как доказательство прямой теоремы (сплошные стрелки), так и доказательство обратной теоремы (штриховые стрелки).

Внимательный анализ схемы позволяет выявить факторы, которые нередко упускаются учащимися или учителями при обычной практике обучения доказательству теоремы.

Внимательно изучая схему, мы видим, как процесс доказательства распадается на отдельных участках на две параллельные цепи силлогизмов (умозаключений); кроме того видно, что некоторые умозаключения составные: так, для доказательства конгруэнтности треугольников необходимо установить конгруэнтность трех пар фигур (это изображено на графе тремя стрелками, направленные к знаку конгруэнтности треугольников).

Стрелки ведут мысль ученика: научиться «одевать» каждую из них в словесную форму – вот в чем состоит задача для школьника.

Использование граф-схем делает процесс доказательства как бы видимым. Рассмотрим случай, когда по одной граф-схеме истолковываются три процесса: два разных способа доказательства прямой теоремы и одно доказательство обратной теоремы.

Пусть доказывается теорема (прямая) о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит основание на части, пропорциональные принадлежащим сторонам.