Граф-схемы доказательства теорем

ПРЯМАЯ ТЕОРЕМА

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, конгруэнтны.

Если в треугольнике конгруэнтны три высоты, то этот треугольник равнобедренный.

Рассмотрим внимательно особенности доказательства данных взаимообратных теорем.

В этих целях построим цепь силлогизмов, т.е. умозаключений, имеющих следующую структуру:

А). Большая посылка: Месть Р М→Р

Б). Малая посылка: Ресть К Р→К

В). Заключение: значит, Месть К М→К

Доказательство прямой теоремы

(читать по схеме сверху вниз по направлению сплошных стрелок на схеме, в последовательности силлогизмов X→Y→Z; римскими цифрами обозначены строки на граф-схеме).

А). В треугольнике, против конгруэнтных сторон лежат конгруэнтные углы.

Б). В ΔАВС против стороны АВ лежит ∟С; против конгруэнтной ей стороны ВС лежит ∟А.

В). Значит,

a). Если гипотенуза и острый угол одного треугольника конгруэнтны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.

б). В Δ АСА1 и Δ САС1 отрезок АС – общая гипотенуза;

в). Значит,

а). В конгруэнтных треугольниках против конгруэнтных углов лежат конгруэнтные стороны.

б). Против в Δ САС1 лежит сторона СС1 , а против конгруэнтного ему Δ АСА1 лежит сторона АА1.

в). Значит,

Доказательство обратной теоремы

(читать по схеме снизу вверх по направлению заштрихованных стрелок на схеме, в последовательности силлогизмов Z’→Y’→X’;)

А). В треугольнике против конгруэнтных углов лежат конгруэнтные стороны.

Б). В ΔАВС против лежит сторона ВС, а против конгруэнтного ему лежит сторона АВ.

В). Значит,

а). В конгруэнтных треугольниках против конгруэнтных сторон лежат конгруэнтные углы.

б). Против стороны АА1 в Δ АСА1 лежит, а против конгруэнтной ей стороны СС1 в Δ САС1 лежит

В). Значит,

a). Если гипотенуза и катет одного треугольника конгруэнтны гипотенузе и катету другого, то эти треугольники конгруэнтны.

б). В прямоугольных треугольниках АСА1 и САС1, АС – общая гипотенуза; (по условию)

в). Значит,