Парадоксы логики математики

Попробуйте, однако, найти такое значение x, при котором посылка = –1 истинна, а заключение x = 1 ложно – ясно, что это не удастся, и именно потому, что равенство = –1 всегда ложно. Так обстоит дело и в общем случае: если посылка P(x) тождественно ложна, то отрицание следствия P(x) Þ Q(x), понимаемое естественным образом по-русски или записанное на логическом языке в виде x(P(x)&ØQ(x)), очевидно, ложно, а стало быть, само следствие истинно.

Впервые подобные эффекты языка и логики были открыты не математиками, а философами-логиками в эпоху Возрождения, занимавшимися так называемой схоластикой. В настоящее время словом "схоластика" называют пустопорожние рассуждения, жонглирование словами и фразами, и основным предметом дискуссий схоластов называют обсуждение вопроса, сколько чертей могут поместиться на булавочной головке. Между тем даже русское слово школа имеет со словом "схоластика" общее происхождение.

Основателем логики является один из величайших ученых в истории человечества, древнегреческий философ Аристотель, построивший, можно сказать, систему аксиом, аксиоматику логики, отражающую общечеловеческую логику, заложенную в языке. В его системе общее высказывание типа P(x) Þ Q(x) формулировалось в виде "Все S суть P", т.е. все объекты, обладающие свойством S, обладают и свойством P, но для его истинности было необходимо, чтобы хотя бы один объект, обладающий свойством S, существовали: например, понятно, что все люди смертны, но утверждение "Все гаглики являются мымриками" считается, ложным, поскольку гагликов "не бывает".

Аристотелева логика оказалась, однако, не слишком удобной для математики – математики используют логику иную, которую не стоит называть "неаристотелевой", поскольку эти логики отличаются совершенно несущественно, только в "крайних" случаях, а по отношению к таким случаям математика не слишком согласуется с реальным языком – вспомним, например, что множество может не иметь элементов, что часть (подмножество) может совпадать с целым.