Парадоксы логики математики

С точки зрения, на которую мы встали, придется отказаться и от этого утверждения. Перестает быть правильной и стандартная схема доказательства равенств с множествами, основанная на равносильности A = B Û (A Ì B)&(B ÌA), – равенство Æ = Æ истинно, а включение Æ Ì Æ ложно. А, казалось бы, абсолютно очевидное предложение A Ç B Ì A верно только при условии, что пересечение A Ç B не пусто.

Но, что самое главное, эти логические "тонкости" имеют самое непосредственное отношение и к обычной школьной математике. Так, вряд ли кто-нибудь из вас сомневается, что a = –1 Þ a2 = 1, но подставив в эту равносильностьвместо a мы немедленно получим, согласно "временно" принятой точке зрения, бессмыслицу. Таким образом, даже простейшую операцию подстановки в общем виде проводить нельзя.

Другими словами, встав на точку зрения "здравого смысла", очень многое надо будет пересматривать. А какие же последствия влечет альтернативная точка зрения – если считать, что исходное предложение = –1 Þ x = 1 все же является высказыванием?

В этом случае мы можем воспользоваться определением следствия P(x) Þ Q(x) и немедленно обнаружим, что в нем речь идет только о значениях переменной, при которых посылка P(x) истинна. Как же быть в случае, когда таких значений нет?

Для ответа на этот вопрос, как ни странно, обратимся к . обычному языку. Допустим, если в точке Земли с координатами 54°32' северной широты и 72°24' восточной долготы всплыл кит и выпустил фонтан воды, то этот кит живой? Разумеется, ответ будет да, не задумываясь при этом над тем, всплыл он или не всплыл. А между тем точка с данными координатами расположена на суше, и кита в ней не может быть!

Другими словами, делая "в жизни" определенные выводы, говоря о следствиях, мы можем не задумываться об истинности посылок – такие выводы вполне могут выть правильными. Точно так же, если в 10г классе 7-й школы г. Верхне-Вартовска все мальчики хорошо играют в футбол, а Вася Сергеев учится в этом классе, то мы немедленно сделаем вывод, что он хорошо играет в футбол, даже существует ли такой город, есть ли в нем такая школа и такой класс, и учится ли в этом классе хотя бы один Вася Сергеев.

Это и есть логика – искусство проведения правильных рассуждений, основываясь на связях между предложениями, а не на истинности самих этих предложений. И если наши посылки истинны, то при правильных рассуждениях и выводы будут истинными. Но именно это и обеспечивается нашим определением следствия: когда мы говорим об истинности следствия P(x) Þ Q(x), мы не говорим ни об истинности посылки P(x), ни об истинности заключения Q(x), но гарантируем истинность заключения в случаях, когда истинна посылка. И нам ничто не мешает считать следствие P(x) Þ Q(x) истинным и в случае, когда его посылка P(x) – как говорят, "из лжи следует все, что угодно".

Подойдем к этому вопросу еще с одной стороны. Раз уж мы признаем предложения P(x) Þ Q(x), или, по-русски, "Из P(x) следует Q(x)" с тождественно ложной посылкой высказываниями, то мы должны уметь строить его отрицание, и на уровне обычного языка его отрицание есть "Из P(x) не следует Q(x)", т.е., согласно определению следствия, существует такое значение x, при котором посылка P(x) истинна, а заключение Q(x) ложно.