Парадоксы логики математики

Поговорим о некоторых особенностях математического языка и логики математики, отличающих их от языка и логики "обычного человека". Как ни странно, но есть случаи, когда математический подход существенно расходится с "нормальным", "общежитейским", "обще языковым" подходом, т.е., можно сказать, со "здравым смыслом".

Поставим вопрос: "Верно ли, что из= –1 следует, что x = 1?". С точки зрения здравого смысла, этот вопрос сам по себе некорректен: как может хоть что-нибудь следовать из равенства, которое не может быть верным? Так именно ответит на этот вопрос человек, далекий от тонких вопросов логики математики (но знающий все же, что арифметический корень не может быть равен 1). Более подготовленный человек может сказать то же самое, но другими словами: "Предложение "Из равенства = –1 следует, что x = 1" не является высказыванием, и поэтому поставленный вопрос не имеет смысла".

Имеем, однако, возможность рассмотреть этот вопрос глубже, руководствуясь не столько своим языковым "ощущением", сколько опираясь, как и положено в математике, на принятые определения. Однако само понятие высказывания у нас не имеет определения, точного с математической точки зрения, и при решении вопроса, является ли то или иное предложение высказыванием, мы опираемся, исключительно именно на свое "ощущение языка".

Так, разные люди по-разному отвечают на вопрос, являются высказываниями следующие два "хрестоматийных" для лингвистики предложения: "Синус лает на собаку" и "Зеленые идеи яростно спят". Оба предложения, чаще всего признаются бессмысленными, т.е. являющимися высказываниями, хотя первое из них вполне может оказаться истинным в ситуации, когда Синус – это имя второй собаки, а второе может встретиться в поэтической, метафорической речи, где также может приобрести смысл: зеленые, т.е. незрелые идеи еще спят, но спят яростно, т.е. готовы к пробуждению и активной жизни. Подобные проблемы, и, вообще, проблема смысла предложения изучаются в разделе лингвистики под названием семантика.

Как же эти проблемы, относящиеся к языку и мышлению человека решаются в математике, т.е. в достаточно ограниченном контексте? Встанем в исходном вопросе, прежде всего на точку зрения здравого смысла: будем считать, что предложение "Из равенства = –1 следует, что x = 1" не является высказыванием, поскольку не существует ни одного значения x, при котором равенство было бы верным = –1.

С помощью принятой нами символики это предложение записывается в виде = –1 Þ x = 1, где = –1 и x = 1 – две обычные высказывательные формы, и "странности" возникают только из-за того, что они "плохо" соединяются знаком следствия, из-за того, что первая из этих форм всегда является ложным высказыванием – тождественно ложна.

Но по той же самой причине нельзя считать высказыванием и предложение "xÎÆ Þ xÎA" – никакой предмет не может принадлежать пустому множеству. А это предложение имеет в математике вполне разумный смысл: оно означает, что Æ Ì A: пустое множество является подмножеством любого множества.