Поиск решения геометрических задач с помощью графов

Каждая линия связи на этом рисунке снабжена стрелкой, указывающей направление, в котором эта связь была использована. Мы начинали с данных величин, а, h и b и продвигались через вспомогательные неизвестные х, А и В по направлению к первоначальному, основному неизвестному V, выражая эти количества, одно за другим, через данные величины.

Рис.5

Пример 3. Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 10 см и 26 см, а диагонали перпендикулярны к боковым сторонам (рис.6).

Дано: АВСД–трапеция, АВ=СД, АС СД, ВД АВ, ВС=10 см, АД = 26 см. Найти: S

Анализ: В соответствии с приемом выявления структуры задачи сначала необходимо установить основное отношение, реализованное в задаче. В данной задаче искомое находят по формуле S = ½ (ВС + АД) х ВЕ.

Выполним аналитический поиск решения данной задачи:

1) S = ½ (ВС + АД) х ВЕ, где ВС и АД известны, ВЕ неизвестно;

2) ВЕ = , где АВ и АЕ неизвестны;

3) АВ2 = АЕ х АД, где АЕ неизвестно, АД известно;

4) АЕ = ½ (АД – ВС), где АД и ВС известны.

Рассмотрим другой путь поиска решения задачи:

1) S = ½ (ВС + АД) х ВЕ, где ВС и АД известны, ВЕ неизвестно;

2) ВЕ2 = АЕ х ЕД, где АЕ и ЕД неизвестны;

3) АЕ = ½ (АД – ВС), где АД и ВС известны;

4) ЕД = АД – АЕ, где АД известно, АЕ неизвестно, не было определено выше на 3-м шаге поиска решения.

Поиск решения задачи закончен.

Выявленные структуры задачи показывают, что она является задачей с переменной структурой и, следовательно, имеет не менее двух способов решения.

Выше было отмечено, что у учителя математики имеется теперь возможность ранжировать задачи по степени сложности. Так, при составлении систем упражнений для фронтальной, коллективной, групповой и индивидуальной форм деятельности учащихся на уроке задачи могут предлагаться учащимся с учетом постепенного возрастания их сложности.

Остановимся на приеме применения восходящего анализа к поиску решения геометрических задач на вычисление. Он содержит следующую последовательность действий:

1) записать формулу (в обозначениях чертежа) для нахождения искомого задачи;

2) в этой формуле выявить неизвестные величины, которые достаточно определить, чтобы найти искомое;

3) для каждой неизвестной величины, входящей в исходную формулу, подобрать формулы для нахождения этих величин (последовательно для каждой величины);

4) процесс поиска завершить в тот момент, когда:

а) для последовательности неизвестных величин, участвующих в поиске решения задачи, будут указаны формулы их нахождения;

б) для последней неизвестной величины (в этой последовательности) указана формула, в которой неизвестные величины определяются данными задачи.

Прием аналитико-синтетического поиска решения геометрических задач фактически аналогичен соответствующему приему поиска решения текстовых алгебраических задач.

Также метод граф-схем используют, когда проводят самостоятельные, проверочные или контрольные работы. Для этого используют карточки-задания, которые имеют вид готовой схемы. В них дается следующая информация: чертеж, утверждение, которое нужно доказать, условие задачи и последовательность логических связок в виде незаполненных клеточек-ячеек, которые соединены стрелками. Данная схема представляет собой каркас решения.

При оформлении карточек необходимо придерживаться следующих правил:

1) данные заносить в схему в том порядке, в каком они упомянуты в тексте задачи;