Поиск решения геометрических задач с помощью графов

Самое трудное в поиске решения задачи – это установление цепочки логических следований, которая приводит к доказываемому утверждению. Чтобы научить школьников логически грамотно рассуждать, надо развивать у них навыки такого мышления, которое помогало бы им выстраивать разрозненные геометрические фанты в логические взаимосвязи.

Умение решать задачи неразрывно связано с умением кратко и точно изложить свое решение. Но у учащихся рассказ о собственном решении часто изобилует такими деталями, различными отступлениями, уточнениями, которые не являются необходимыми для обоснования рассматриваемого утверждения. Доказательства превращаются в своего рода сочинения, лишенные логической осмысленности, последовательности и краткости.

Оформление записи решения также играет немаловажную роль. Оно прежде всего должно быть наглядным. При традиционном словесно-символическом оформлении решения учащимся трудно увидеть его жесткий стержень, скрепляющий все решение в единое логически завершенное целое. Но видение учащимися самого процесса решения в его развитии и в целом очень важно для формирования их воображения. Как говорят, видение рождает мышление. Научив видеть ход решения задач как в его непосредственном рождении, так и в итоге, нетрудно сформировать у учащихся представление о взаимосвязи между различными понятиями всего курса и пониманием особой значимости этих взаимосвязей.

Весьма популярным методом, позволившим сделать доказательство более наглядным, является метод граф-схем. Он чаще всего применяется при изучении теоретических вопросов и при решении задач.

Самый бросающийся в глаза признак прогресса в решении задач – это появление все новых и новых подробностей на графической иллюстрации решения. По мере того как решающий успешно продвигается вперед, на геометрических фигурах и на диаграмме связей возникают все новые и новые линии. За все увеличивающейся сложностью чертежа мы должны ощущать развитие мысленных построений решающего. С каждым новым шагом он включает в работу новые относящиеся к делу сведения; он узнает на изучаемом рисунке какую-то знакомую конфигурацию, применяет некоторую известную ему теорему. Таким образом, умственная работа решающего представляет перед нами как воскрешение относящихся к делу элементов его опыта, как связь этого опыта с решаемой задачей, как мобилизационная и организационная работа.

Итак, рассмотрим это подробно.

Пример 1. Если прямая линия проходит через точку пересечения двух данных прямых и перпендикулярна им обеим, то она перпендикулярна и любой третьей прямой, лежащей в той же плоскости, что и данные две прямые, и проходящей через точку их пересечения.

Построим фигуру, введем нужные обозначения, а затем придадим стандартную форму предложению, которое мы собираемся доказать, расчленив его на условие и заключение.

Условие. Три отрезка ОА, ОВ и ОС пересекаются в одной и той же точке О, лежат в одной и той же плоскости и не совпадают друг с другом; кроме того, РО ОА, РО ОВ. Заключение. РО ОС.

Следующее поэтапное построение и разбор рисунка позволяет составить граф-схему для доказательства соответствующего предложения/

Пример 2. Найти объем V правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если даны ее высота h, сторона а верхнего основания и сторона b нижнего основания.

В начале нашей работы имелся некоторый элемент неопределенности. На каждом новом этапе мы надеялись, что следующий шаг приведет нас к желаемой цели, к ликвидации разрыва между неизвестным и данным. Мы так предполагали, но не были в этом уверены; на каждом этапе нам нужно было изобретать (без полной уверенности в успехе) следующий шаг. Теперь же выдумка больше не нужна, неуверенность исчезла; мы ясно видим, что сможем благополучно достичь неизвестного V, отправляясь от данных а, h и b и следуя по нитям непрерывных связей, представленных на рис.5.