Моделирование в обучении математике

Математика и химия – обе науки - считаются точными науками, моделирование химии и математики взаимосвязаны и дополняют друг друга.

Решим одну задачу по химии: «Насыщенным углеводородом называется соединение углевода С, имеющего валентность 4, и водорода Н, имеющего валентность 1, в котором при заданном числе атомов углерода содержится наибольшее число атомов водорода. Найдите формулу насыщенного углеводорода, содержащего n атомов углерода».

Рассмотрим граф , в котором вершинами являются атомы, а ребрами – соответствующие валентные связи между ними. Покажем от противного, что в графе не существует цикла, т.е. возможности, переходя по ребрам графа из вершины в вершину, вернуться в исходную вершину. Если цикл есть, то должен быть составлен из атомов углерода, поскольку водород имеет валентность 1 и может соединяться только с одним атомом. В случае существования цикла разорвем связь между двумя атомами углерода и присоединим к каждому из них еще по одному водорода. Число атомов водорода увеличится, значит, исходный граф описывал не молекулу насыщенного углеводорода.

А) С2Н6 = С2Н2·3 = С2Н2·2+2

Б) С3Н8 = С3Н2·3+2

В) С4Н10 = С4Н4·2+2

Вывод: СnH2n+2

В построенном графе можно перейти по ребрам от любой вершины к любой другой, и в нем нет циклов. Такой граф называется деревом. Пусть молекула содержит n атомов углерода и m атомов водорода, тогда граф будет содержать n + m вершин. Далее, при решении задачи воспользуемся легко доказываемым соотношением: в дереве число ребер на единицу меньше числа вершин. Следовательно, в графе n + m – 1 ребер. Из вершин графа, обозначающих атомы углерода, выходит по 4 ребра, а из вершин, обозначающих атомы водорода, - одно. Используя простой факт, что сумма степеней вершин, т.е. сумма числа ребер, можно написать соотношение: 4n + m = 2 (n + m – 1). Отсюда получаем, что m = 2n + 2. Следовательно, формула насыщенного углеводорода, имеющего n атомов углерода: Сn H2n+n. Эта задача часто вызывает удивление у школьников: оказывается, можно получить формулу вещества с помощью математики, используя только определение и не проводя химических опытов.

Следует подчеркнуть, что при построении модели нужно не обращать внимания на второстепенные свойства объекта, случайные соотношения между его частями. Важно обратить внимание учащихся на то, что модель может быть различной степени точности и эта точность зависит от разных обстоятельств. Во-первых, от постановки задачи. Например, вершины графа могут изображать детей. Все дети вне зависимости от их пола, возраста будут изображаться одинаковыми точками, если в условии задачи эти характеристики не упоминаются. Если же для решения важен пол детей, то вершины графа нужно как-то отличать друг от друга, например, окрасить в разные цвета. Аналогичная ситуация происходит и с ребрами графа.

Во-вторых, точность модели зависит от точности решения задачи. Более подробная модель будет лучше описывать объект, но и будет более сложной для исследования. Можно подчеркнуть, что часто нам нужно решить некоторую задачу, но из-за сложности построенной модели мы не можем этого сделать и вынуждены упрощать модель.

Простейшие модели можно строить, начиная с младших классов, постепенно усложняя от класса к классу. Однако первое знакомство с понятием модели лучше проводить в старших классах. Кроме того, модели позволяют неявно знакомить учеников с важными математическими понятиями (изоморфизм и гомоморфизм), которые описывают одинаковое структурное строение различных объектов. Построение моделей тесно связано еще с одной важной задачей школьного образования: обучения учеников абстрактному мышлению.