Решение «открытых задач»

Дан произвольный треугольник. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Это является, в частности, прямым следствием теоремы Чевы и обосновано. Для доказательства второй части утверждения рассмотрим треугольник ABC. Пусть AD и CE – медианы этого треугольника и O – точка их пересечения. Через точку E проведем прямую, параллельную прямой AD. Пусть F – точка пересечения этой прямой со стороной BC. Очевидно, EF – средняя линия в треугольнике ABD и, следовательно, .Тогда из теоремы следует, что . Так как медиана была выбрана произвольно, то это очевидно для любой медианы, что и завершает доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC со сторонами AB = c, BC = a, и AC = b. Пусть – медиана этого треугольника. Обозначим дополнительно , тогда

Применим теорему косинусов к треугольникам ADC и ADB. С учетом введенных обозначений имеем

,

.

Сложим правые и левые части этих равенств с учетом того, что , Тогда получим , Отсюда

.

.

.

Далее рассмотрим:

Повторяя рассуждения предыдущего пункта, легко получить выражения для длин других медиан треугольника. Выпишем выражения, связывающие длины сторон треугольника и длины медиан этого же треугольника:

Рассматривая эти равенства как систему уравнений относительно , и при известных , и , мы можем решить ее относительно, например . Обозначим , , и запишем систему в виде

Складывая последовательно первое уравнение со вторым и третьим, получим:

или